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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $*rJh5%]@  
VIDtJ%Bv  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _')PcHm*  
Ea9<$:G@  
　　1、三角函数本质： )@4 Ha]2  
Woa dLKKN  
　　三角函数的本质来源于定义 tLJ3/q  
,Os7<+d  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 JQC-GX[  
bhm{Je^&  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 "%CS6qwe  
Sb +G5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 0Hly ~24p  
nHd?)P^k{  
　　推导： _4h1R`:+!  
6o,'H#r7m  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 .1ty+Q:J-  
~9?N=j\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Fc.[?!!7  
Z3Dx.9m]  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gl?r q }  
%~h$?KwW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 kO#'!cl=)  
>~&hPG,/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 1G*TMZa?dd  
i*-"j;a  
　　[1] LX%p\7  
| `2B]_i]  
　　两角和公式 IK&"FiW.  
W--P*[df  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB yd15W7(xC  
elUXj  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .vr#,a``  
zo{f6U1n`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB vPi SS}@  
k&7EQG#ZT  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +D3V}>s:=  
I\;oX@-  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) s=pAPBc^N  
F<:&t,K$l  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) MEn'N]^(:  
TF,`F  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ;\`-x*PU_  
b]?>F_:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) - 0!&ceZ  
&Z`[9OR'v  
倍角公式 Yw U6S=w  
AQnI-'mp  
　　Sin2A=2SinA•CosA !h(z5mm})  
j,{TB%KG  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 P!u])I{~P  
C^[CSA  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 0% dz2MZW  
YPRNZSK>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） I!=z&9D[  
bR;UdE:  
三倍角公式 tU6)\9^ [  
fLG R}L  
　　 ?e&>6pxP  
~S1bOk&R  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4KQYw?qj  
n#T.U#Z <  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1C9G!s!  
u4_GV}Dz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Cp4Xt8L(3  
H#]gn]@  
三倍角公式推导 {G:.v  
.f{v XNm  
　　sin3a rmd27uA"#  
{9c'4 |:4j  
　　=sin(2a+a) Q1(im%6}  
roRPtT0*  
　　=sin2acosa+cos2asina Q.>6v4d  
KM Ybb"N#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /vyM^GOJN  
PYEU'zW  
　　=3sina-4sin³a y#)9&17C  
lx,8i5_Y  
　　cos3a t=W9x fJ  
995'Dm!  
　　=cos(2a+a) 5@rF!S9  
KS[e<}?X  
　　=cos2acosa-sin2asina *o36kWs~_  
Vb3>!t}  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa U!g+/[ v  
Ddy;@=yA  
　　=4cos³a-3cosa Et,D!SlB  
*?WK}~:`P  
　　sin3a=3sina-4sin³a <1_*|'ae3  
ea[ pQt5MU  
　　=4sina(3/4-sin²a) L$ga4N/Q  
%h+a}-pt]  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `Ykm>kES  
2|l:A  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) CZ[L@//_,  
cElW<L%U"U  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) j?sR~1s^  
3mpVPR6rF  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =c&+nVT  
9yQl8  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l*4t5hc  
/pJ'Y/k:]m  
　　cos3a=4cos³a-3cosa j&,tj^  
"FV2\\7n  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =W^(7~TL  
i=)F8MD$!3  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4QqGs#a5  
] JKCm I  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  -H!U|  
bkRl/rb?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) x(MsW=h>P  
z;s Q{k#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3Gh >K!  
lX#M7{dB  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @6`B  
aX/!Hn  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Cw?Fv,X*~  
"(F!DvFdA  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] l1wD`t!  
!m;ea]WS  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) JeZA""%  
ZfWV%?qBI  
　　上述两式相比可得 sXe n6  
o)}PhQ+h f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) SB)6pS|Y  
z\em D  
半角公式 Arl9o>  
w-T>%vFgz  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); C7OO<-  
u 8]Ti\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5>$~0DU.8  
~hd~YZ]  
和差化积 m4VHL>UPD  
4b\CWv}  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QtZ!@%  
G}!82@[mtN  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zE~-nn!{  
kr'ybr3i  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =Hf0z]p  
BZ! Yf\E4z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?(z Q@fP  
fexLe<wu;{  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) x<x9RZU  
j-P!cTW  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) TR#oR||m?  
i|*z~9 I]  
积化和差 $ph+qLvQ  
>8T#9<n|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] b}O~:F/e  
F % T^  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y>ko B7/S  
$7@K8=L  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6`sE33;3X  
U;\)Q6t/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Okz{7  
8 z@gs  
诱导公式 dp+q/  
PfQZN4  
　　sin(-α) = -sinα ,ymA7Kk  
7t2y{56Ib  
　　cos(-α) = cosα {:9:+|;e0  
KnDp8k?  
　　sin(π/2-α) = cosα nFb66y<zR  
AHP}d0 &p  
　　cos(π/2-α) = sinα QT?Zu+J)  
7j)5L1SZ  
　　sin(π/2+α) = cosα U\+~:7\s  
lT/V  
　　cos(π/2+α) = -sinα |j lO)nG  
BrCIAPH{}  
　　sin(π-α) = sinα Bo2eQ  
cg;| m/r  
　　cos(π-α) = -cosα iZ7>Vu.}  
wirw!#1MD  
　　sin(π+α) = -sinα ~w-y@t4>  
z]DriM  
　　cos(π+α) = -cosα MtyFMVf(L  
R,ZF Q GT  
　　tanA= sinA/cosA ~zm7^uo  
qJl:s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9 [A_P  
>bs:pLE  
　　tan（π/2－α）＝cotα uA=`@mVV  
P el:aAB#  
　　tan（π－α）＝－tanα r?v,6_#<$8  
cp9wEauj  
　　tan（π＋α）＝tanα a&)iwUT,  
GT<6 JJ7  
万能公式 y#"7J11  
v~Aa;QX  
　　 & @cm JT  
RXl!,9_"  
其它公式 0MdR/8B$Hh  
LZDYC8%.k  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]y#uqk\  
J_)75qE  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 -iOMGuJ  
?L eA[U5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 c\ebT~4'  
* N}`3Qd  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9eJ-B7*  
h6}.Ii5pt  
　　对于任意非直角三角形,总有 tN?v-1UPSZ  
|8UR09=7F  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC } cv.@B"  
yv:g&9+  
　　证: 'QeQxrE  
:Ic|[32@G  
　　A+B=π-C 9.WsE9FDA  
p^)#NF_I  
　　tan(A+B)=tan(π-C) S18:2h"]  
{n5G)5d  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) m ]n[q@$x  
l!,?&&xiK  
　　整理可得 "f<<[*}  
/#L\DpC.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,jc#7q*  
A rwATxv  
　　得证 [vg:yQq  
!wY/:5  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3/r_UD/lKT  
bO'7/6  
其他非重点三角函数 TM\a ZlykK  
]R j]g ?  
　　csc(a) = 1/sin(a) @W)l$BP(  
YW$pHA:[  
　　sec(a) = 1/cos(a) 4+L%mO  
z9or.# X  
　　 d\CA  
,5n-$:=  
双曲函数 &:oj^  
&b&"@7P  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 rV(i10s  
, XoQ@-  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C0U)7PjY  
*?Ck}Z'p.  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) a%9gOe2  
K|8* {8d  
　　公式一： )jFt SX  
oA#bZ]  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： :fSJn@9  
08+I])J  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -;oA@OsY  
(Tma$qh   
　　cos（2kπ＋α）= cosα %)rst`  
@%kEI3SXM  
　　tan（kπ＋α）= tanα IFI p5NV  
a`)ee?  
　　cot（kπ＋α）= cotα sc{%!zX[  
Xk"r hYZ  
　　公式二： z<U$vXu%y  
$*cK# XN  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9#+1OHqL  
|cF5Gq%[W(  
　　sin（π＋α）= -sinα ?FZxsPoG  
r`KHV}+w  
　　cos（π＋α）= -cosα 5i\|xxQY  
. 6 -3:  
　　tan（π＋α）= tanα F=5rHH=5d'  
o 7r1 +]}i  
　　cot（π＋α）= cotα E%g.Tiu  
BI(*MK  
　　公式三： E s<2W  
*J1r"^I  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "Q h<-S.  
szx^eQoF  
　　sin（-α）= -sinα M(zIu9  
-p/Y%/  
　　cos（-α）= cosα XhK~oL{  
F.VRK4k`  
　　tan（-α）= -tanα eC _ Rd  
}R+68>!h  
　　cot（-α）= -cotα hv!:F}6'  
V%Y9} -M  
　　公式四： 7^}+R4O  
DVj b+K/i  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： olt8|ZlU9  
xc,0h$m!  
　　sin（π-α）= sinα z0\$";E  
'AG`tA  
　　cos（π-α）= -cosα 3] 8){N  
"?H(o{  
　　tan（π-α）= -tanα dyx&g '  
K?sV=^  
　　cot（π-α）= -cotα y\MbDkc  
'S=(2&D <  
　　公式五： | qExv>Y  
F&ow; ei[  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： SxVm5xL5  
I~ tJmQ%  
　　sin（2π-α）= -sinα =[ 9i;&i5  
>w,BM_Cd  
　　cos（2π-α）= cosα }'&EFA9z  
.B;c3DF^{  
　　tan（2π-α）= -tanα O li <nMa  
E=6iQi*  
　　cot（2π-α）= -cotα ^Xf=+ S]  
 )Y`Xuz  
　　公式六： T8ebl4+}(0  
QmU[b!m}W  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &Y9+/L6hK  
\V }j,*  
　　sin（π/2+α）= cosα nn-XNQo0  
i^KC}AP  
　　cos（π/2+α）= -sinα [ZGt2@T,  
G$~=mx  
　　tan（π/2+α）= -cotα 3lj\eR z7  
 ;k~yJGz  
　　cot（π/2+α）= -tanα [v1bzHXu H  
4cJ^\S^a  
　　sin（π/2-α）= cosα eu,T}'  
s[ |AJ9  
　　cos（π/2-α）= sinα rE?`/  
R>=WbwHG'  
　　tan（π/2-α）= cotα q#Sz:jr`f  
k%AL[l[  
　　cot（π/2-α）= tanα _WCuhw  
{] iV.7Pf  
　　sin（3π/2+α）= -cosα xDis;S)  
"]%)T^f  
　　cos（3π/2+α）= sinα 33.geIr'1  
>\jg\uuX  
　　tan（3π/2+α）= -cotα H Z x0<4z  
E2p_biF]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα q1 FT] I  
*)27sL  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c$^Y$o2Ai  
g%#:%3Fzi  
　　cos（3π/2-α）= -sinα fYFpMyW  
2MgNKg  
　　tan（3π/2-α）= cotα <BSIV=p'~  
JR+]1[TdL  
　　cot（3π/2-α）= tanα y6^Ev.F  
qMK jE  
　　(以上k∈Z) pp%;',2I  
qxCCz#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rzM:9P(a/Z  
~K^T6l:q  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = GMr e|7L  
dt1% %  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } fZ'0XL:  
"{\Lk9==N  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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