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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 <A'X)c`T  
M`B)NSC~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. @,1v?jQT  
~ ;w=X *,  
　　1、三角函数本质： n& >tMO?Tv  
I33%N<  
　　三角函数的本质来源于定义 ULhF;9T  
;_&!fm  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 $OmrR+A  
3cBAW@2  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >Y: _Mm  
~rw:vAM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Hnj/1\h  
k.F ;y"D  
　　推导： xg*bta$u  
y>C,!Nj  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 fb"bDO /Os  
Z? s/!cH  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) J9zg>qk)  
|]_ [y\  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) yY,l!O   
GA(Ukv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d rW7  
H GS"T  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） o4D5KF<I!  
 ['GH CX  
　　[1] ~V?H^ y!  
j [1kUmJ3  
　　两角和公式 o^U&W 2h&  
=th%N~--?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB e* 8oVl|n  
ct')Y`? ;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wr1nh#z  
\FX<9vM>  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB neF@Sv<G  
^oa .=vdP  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB *WwmgJ  
M$*eSY  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;;_<q0(i|  
VL?L9|:9U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ~;ACqO:y  
v ?[zmBcH  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  tKO%rovY  
)R^Qd6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i,-12q3  
!O T<=,  
倍角公式 =bh}L ;  
j,["u4?P+  
　　Sin2A=2SinA•CosA K g`zLr,  
hxR';9y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Fnep<h  
T< T_:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N7VYClo7  
gHIW8^KHY  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） oX.H6|  
(ynk_ #z  
三倍角公式 KG omm.n  
:4PD;Xd  
　　 3ne~dit"  
qIWc/=e  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,: !md  
{Q= c!tj&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) `d~G{go4  
Q r LL9Wx  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F^{q   
|0< (f3/*  
三倍角公式推导 67%nj>&y  
}iuv.  
　　sin3a Q5:<}p#G  
#Bi14Z>=  
　　=sin(2a+a) p3mey1Ee<  
{Fls4ei K  
　　=sin2acosa+cos2asina ~an&~Z{  
UX'Gh(/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B0#CUs  
^%V~[CKPF  
　　=3sina-4sin³a =8)U.g  
Tvg Cem(s  
　　cos3a y]>6(i ]$+  
}|TAZyXqu  
　　=cos(2a+a) qP%pdM-b  
bI]QQ  
　　=cos2acosa-sin2asina dhKTwxE  
z.)D@^G}v(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa y`.^xA  
\MD'WQ[3Q  
　　=4cos³a-3cosa |,`er.N  
^:ls9k=F  
　　sin3a=3sina-4sin³a 3j0O%z  
@D/IL  
　　=4sina(3/4-sin²a) @+Cc%c   
y:wSsd,6 N  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] rS"SN'989  
0 P-I:qHA  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Ly9 +`?BO  
Y$70ne8,  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) nMJl*>=+Z  
Y !QcK7  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ueO?h+  
>rJx{uY5!  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) lz?N#LKT  
WTo TU& d  
　　cos3a=4cos³a-3cosa mc1|[~]P  
R3 $L}`CI%  
　　=4cosa(cos²a-3/4) W}5N+  
4TJ BYD  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] a(;kOw[  
xD W:&%H^  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ^ Js1g  
x#ZKUT {  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) %1$BF!2d  
VOuaFP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} tUS:ww/5  
!C[ xP19.3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) "lz5J,P  
y?Xg \Cx  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] t}R#\<dy  
7vFu:BRwP  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (V'N]B?!  
EzZuL_w6e  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ee&v6$  
U$7nXVZLb  
　　上述两式相比可得 _Qc?W |  
as~"h@X  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) w9,ls,  
i=uk,:$$::  
半角公式 gz7=q_[4n  
Rt#DGZ0jq  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V<akcL"u  
z&=IH(`s  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. uBT43<u`:  
:/A;~U'<  
和差化积 og#DvG8`q  
-[}]Pj  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '3*O r ~  
1otW<"I4a  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3nG;48=  
<P4;LrZ0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f.Xq /)  
WsIG8e=&[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ntp_q#5'J  
gzxgC>IHt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) t%+ @}Q  
M{lC8#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) :tE_`r]E  
z KIZ(#m-  
积化和差 ].plmOG{d  
}n_3^`?  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] e<ku~ <  
Q}sZ'iG}f  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] n@V $K8c~  
W6/L ~ h  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Bu}#4` 5  
5Wkjvp@h  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]  s2X =+b  
)@$4CBOs<  
诱导公式 1 M SRz(  
s&a?daGH@  
　　sin(-α) = -sinα &E'Y8dY  
PFb0v  
　　cos(-α) = cosα i?+-~HC  
* OHa   
　　sin(π/2-α) = cosα px[%Y=AHc  
LmBSPiCV  
　　cos(π/2-α) = sinα <^@;k`>e  
1%75G2t  
　　sin(π/2+α) = cosα 0X!(-4z  
hvO|TAwZ@  
　　cos(π/2+α) = -sinα !m>!6WC  
Cro*G7i  
　　sin(π-α) = sinα c_,D >uLID  
5no AQZh  
　　cos(π-α) = -cosα ~zG0B J  
6 :P v  
　　sin(π+α) = -sinα 78tp2Y0  
Jv"#k45  
　　cos(π+α) = -cosα 8'bwF1S74  
<exsx  
　　tanA= sinA/cosA s5I1*'.%  
@>:a2b?=j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα I_xqP)w%fx  
w >_M_@  
　　tan（π/2－α）＝cotα f7j?__XAF  
4n% 7RG,Q  
　　tan（π－α）＝－tanα /s1a1|\o  
"o :AP-g  
　　tan（π＋α）＝tanα F|kdm;Ia*  
Y i,b%=aW  
万能公式 ag NP0i  
R"TKt+H@$  
　　 IF,,{qX  
s&<^3!Y^  
其它公式 uvzB^q  
!g7!u-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $J;V!zJ}2  
F|H+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 "2EjM%  
=;x]s_Xh  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 eli]jz\Aj  
n}(eeHBn#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Fi(\@ ;uw*  
@Y=r\l"  
　　对于任意非直角三角形,总有 sN"]4:7|.  
cSe=js'Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p 99$pb?  
HDmyOw  
　　证: YZK1(V~)I3  
|SIW<uG  
　　A+B=π-C $[QA=!c   
O#|#r9oaF  
　　tan(A+B)=tan(π-C) dd =} X  
pnM=wM^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) I%c5Wfxm  
4CL?!).  
　　整理可得 i+YTe:tK)  
5FI?&b]%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?O}yh"w  
"(y8n:_#;  
　　得证 Y ^F{W#F  
FPL07  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 y ]Am#P)  
\f9?hh  
其他非重点三角函数 !Pj#c@CX9&  
` +|  
　　csc(a) = 1/sin(a) Hd`WeYRvU  
HA a c4E  
　　sec(a) = 1/cos(a) /NHD9vx\  
,3nE C2C  
　　 hw=FTH+  
*)1zSND\  
双曲函数 eB\A+E=zm  
-~bm M1  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ~> 'hN  
|=yJVt@*  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 yH#AR,up   
/z{,;%?f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) O+H<$q 5  
K &|j  
　　公式一： *CV5c)^ F  
=6$]'8V^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： d+&}.X r-  
qW))'D*H  
　　sin（2kπ＋α）= sinα )c2t8w  
E9aW`nRH  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {drr/7dz  
;c&MD5  
　　tan（kπ＋α）= tanα pwn '+/  
zB+F1pa"  
　　cot（kπ＋α）= cotα rnxog<fLm{  
&?dSZUS  
　　公式二： Q:1gY|R  
2OZg1iu  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： .01]W&S  
 |B .-at  
　　sin（π＋α）= -sinα Zj~c/w8  
,kAx 5Wk  
　　cos（π＋α）= -cosα isc,R <  
\>vN?oGn,  
　　tan（π＋α）= tanα 9/fFK iU  
A<A'ba*  
　　cot（π＋α）= cotα 7Q7S+aasd  
<rV5\J   
　　公式三： Z n,pz }d  
K4zo=z+  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： G+FY@ML  
'.xNN{4  
　　sin（-α）= -sinα ?n};,E#p  
-r8Dr-F#  
　　cos（-α）= cosα iz1js-$  
GTk:$@b  
　　tan（-α）= -tanα 8# cXT  
!Yh ]7~H  
　　cot（-α）= -cotα z=R ($NQ  
Ji!BwQ\=  
　　公式四： y Cgh`4  
8q;A'w=  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： V(W#.Gbg  
Z$;PA+z`  
　　sin（π-α）= sinα .]W=&-g>  
V81jOhZ  
　　cos（π-α）= -cosα \}E9J Z=  
?F $9n j5i  
　　tan（π-α）= -tanα q;\_[ U^  
ka=aT]-  
　　cot（π-α）= -cotα x+n  G  
bNb#GJe-  
　　公式五： N-R R\q i"  
A<?y_ JN  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： EOaD^1)  
/Y!x Gw|  
　　sin（2π-α）= -sinα *r$pH0R2  
( %AH7  
　　cos（2π-α）= cosα wyc 4p#b  
-~C;c!kdF  
　　tan（2π-α）= -tanα RBl_p*  
-:U)bhd>  
　　cot（2π-α）= -cotα vnm;/mmQeq  
9bqS.I7?  
　　公式六： kT!o**.dx  
N#`ZyAPF  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !%}3Qs=q  
OrBsp0N|T  
　　sin（π/2+α）= cosα 4&K)M  
SO@kw  
　　cos（π/2+α）= -sinα Jkt+6?/2d3  
MeRa,1;C(  
　　tan（π/2+α）= -cotα w(fn$!M  
THB# ,!`qH  
　　cot（π/2+α）= -tanα ZIY{ H%5Y<  
Y1_?.dG  
　　sin（π/2-α）= cosα +rx{%qyv  
0x$xhL-9DJ  
　　cos（π/2-α）= sinα ? C09:D  
GCN3)wFf  
　　tan（π/2-α）= cotα _l&A|3g&4  
saey%{'#  
　　cot（π/2-α）= tanα T}La`  
p'ofE!1B  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ~r?%_4(D  
!N.o_[-  
　　cos（3π/2+α）= sinα (P iVI  
1<^^ A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα I[,':3oM  
KPN7D_  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fbZ/ N-"bl  
Ff2 Xt<p  
　　sin（3π/2-α）= -cosα S^3Cm HX"  
[#UFuFsQ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n#9fM  
b[_5E4&P  
　　tan（3π/2-α）= cotα ja\v'  
uFRzp  
　　cot（3π/2-α）= tanα usoLkDZju  
- VwOiR  
　　(以上k∈Z) Q3(d, EA  
xN :2~Nh  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 7Th>N9a  
k ] jz0t  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = upR&Bqj  
Tv9Y}[K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } w,4k)UxuP  
HUkqv_-P!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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