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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 H 9mcvl  
HN2;6 cH%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A7E>:9.8  
05!d^Q  
　　1、三角函数本质： ~G:|>;ZY  
Vm%O}^%I  
　　三角函数的本质来源于定义 YNcQ\~}  
v_b)6RT) C  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 c mQBS  
`;/A#HZN  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 5y }z$0  
p[P ;= I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 'yv3 \  
;RLsfGp[  
　　推导：  ~`]SV!  
5gjb7X  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 kp)\uqEn  
K~Fkya{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) H&yA'/ki  
b,~|3   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) : F` R noH  
!oUEs'*3,  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %2" ^a)H9  
vEX7'z.  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） (YLi'A  
/YP C8L"o  
　　[1] =l _MkTT  
WxLWv\o  
　　两角和公式 5`Q=>q(  
8O~=W >  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $9@2KK  
utqQ^,IHL=  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  L\?c-)eV  
(H[ ;5QGb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g.)E}QR5*p  
C2zOiYR  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DECAtI  
HJ'P4M  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8O:wL&X8  
;Lg#h3m\Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5(oy6G'\  
lBWv"Y0C  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  * Z.y/  
-m2(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Aw {?.BE  
]a'ASS9  
倍角公式 |`H'j423s  
EL!?n;xq  
　　Sin2A=2SinA•CosA d@ ,[b{P  
o-@j%A[~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 p<fhk~ F  
tXv6bu^dc  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^Qqtl'1  
e_wh>X\V  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） +mo=mtwA?  
x?O\}Iq  
三倍角公式 =;=?a~$m:  
&6x:JC@;$  
　　 C[dH?8o  
M\$DU:<D"  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3Lt(\EX  
QS+Z|X  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jbfG2 T  
sKpl/}3HB/  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gp1 tXn  
y|wtLD  
三倍角公式推导 KPCpJXci>  
MD.l %Tq  
　　sin3a ()0'  
F6Z7>%*|`  
　　=sin(2a+a) /{rXl3~xc  
@(qu2p!.U  
　　=sin2acosa+cos2asina k7zNI<D*  
m-*#A  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 5Q! +"=  
ixw{jHY Mb  
　　=3sina-4sin³a P>Q<c.*\  
wW+e}=s|  
　　cos3a 'T/KGj*l  
ZqoqCUq  
　　=cos(2a+a) br;{DnaI  
LuE8Xz<  
　　=cos2acosa-sin2asina P6#nYZQ  
}'Gde9%2  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p=jHA5Hjd  
\yF:/,  
　　=4cos³a-3cosa /&,:Bb Zu  
;xQS|R^  
　　sin3a=3sina-4sin³a cx{X   
;|Cckd  
　　=4sina(3/4-sin²a) ebF9VGBk  
NP4{:[)~  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <V"1+l?  
]cI |.;%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) t-J*JT  
 :To! M&  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :BFD\y;K  
`iE{p@/9  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] $w"D321  
*Ry:ox'j7f  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) (P#i!V\>  
s]wd3+fti]  
　　cos3a=4cos³a-3cosa r -rGg_J  
2^Kvo\oV6  
　　=4cosa(cos²a-3/4) o}=;M78^c  
7DsEl,,1;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @l +U'f  
jWJk:$"!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) wMoRdGG=  
I[>dM+lE  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Sf=N' ?  
+Y#rJsB!L  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "S2F+*K  
xXI Pz  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Jm](@   
!_c}V  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n2@6 $/Kb  
+% aSZA|`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M[FG X/#  
6&nwQG  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5_bPbzq  
 qLSz8C  
　　上述两式相比可得 {?qiU|v  
Ry 7uKj+f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j>5i9-UJEU  
<<$;u,  
半角公式 av>+*T  
_nd OlH{}C  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); {R_ B qH  
s AYp>}  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. CdAk5=L\1  
b |iD  
和差化积 Au" msW}+  
d,RXJ#P  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aDx(??~+K  
w'4w=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uGI,Gh.!  
t\<J)$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ukY(/f/c  
wvL>J,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QUSqIR@<  
q@^ 0x  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D!&JQk`I  
Q]|_ oHy  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 25y]`)I[#  
w4t> z{  
积化和差 P)~w8  
 Uva{hq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9i ,<]RF  
D 4-dY6"bb  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] IAc!Wy*[?h  
>a"Xn}c,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] H`  c^"  
N''zU~+;  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] chM2y"s^  
|xqq`B  
诱导公式 LV5F e  
n.j0TUv+s;  
　　sin(-α) = -sinα OwX^NVgc  
v#tSh\t  
　　cos(-α) = cosα ?`"%~*xi  
Hl}/J/){  
　　sin(π/2-α) = cosα X#z/11f7<  
L9] U@=)  
　　cos(π/2-α) = sinα 2htp9_q  
,2.WQPc(4  
　　sin(π/2+α) = cosα q4Zz~t?O  
Atek x#C  
　　cos(π/2+α) = -sinα a912mo  
P0+QC[ w  
　　sin(π-α) = sinα iMqGG9<  
DhKQF;|  
　　cos(π-α) = -cosα Dj/HJP'B  
^jv^~72@  
　　sin(π+α) = -sinα !?Xny  
'w<K $(/  
　　cos(π+α) = -cosα #`,\LHwe<  
^.[q c8zx  
　　tanA= sinA/cosA pDgV}a3  
%^mPg $X7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα TatsM86  
$6gw,j*  
　　tan（π/2－α）＝cotα x~/jys2  
h&B ^Cj .+  
　　tan（π－α）＝－tanα 7 >m5$:kW  
+V7PH{n  
　　tan（π＋α）＝tanα FoqF y>Yfr  
(3? 34a  
万能公式 P SvcBh}  
p} OO"^2   
　　 ,A> K`  
}TxL"Y|K<  
其它公式 ~xqz8#3I  
Amwn[#!"g  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]Pm%RM['I  
30=J;7!h  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5R0rKVg,  
9 RG*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 U=hA m'9  
> wc f b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,GK%ddzWi  
fgH4=E ?Y  
　　对于任意非直角三角形,总有 ry~ vBuUw  
=v&#7LB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 00)a{ZC/  
wkm {$Rz}  
　　证: Kku6;prU,  
V$U*EsE  
　　A+B=π-C $=6uS_To  
O44VBWGP  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,zUxnT9  
{y<L#o)s(8  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) [u F iN+  
n Wq}>p  
　　整理可得 ` 7@_z%  
hhn mcT>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Z9(ZU9  
jSm,Zfn  
　　得证 O$CfXidjD  
k=#AN(L&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &@Is8) S  
_Ya:m2E0  
其他非重点三角函数 6{\[/'r@y  
]v]~ !}  
　　csc(a) = 1/sin(a) f!%I&jb14  
_1fxPV  
　　sec(a) = 1/cos(a) 6UVF17h$`  
l&2kU ~H  
　　 sXtM%e7  
75hq.#z  
双曲函数 oHQv3&n  
J-eYSj`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B+Te8=;T  
cCey7pp:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 d,ah~(\"  
>(Tq7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;|l4Mt6k  
j,C 3?M+  
　　公式一： +\e=:  
Bf?+Utn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： BY%+ jS'  
|8s$ z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ,8tUu_ Q  
'#832)OY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα tgmN1.Xk  
jUj? y}+C4  
　　tan（kπ＋α）= tanα Y`~fe`T  
n3B%DW  
　　cot（kπ＋α）= cotα M{ u}Ddt>  
C(t }dx  
　　公式二： "h !2c(  
"a SBE3*/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： a Bw:a8 !  
|GY{JVNl5  
　　sin（π＋α）= -sinα RNzu8M!}w  
g'caqP,N  
　　cos（π＋α）= -cosα 004< c  
KdWb~'  
　　tan（π＋α）= tanα g]SMGRwX  
wA% S3zi  
　　cot（π＋α）= cotα )OSSa=Y8  
L]/szpR>  
　　公式三： ze J@v*  
efTE$LS  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?[VG_lk83  
8 ozT  
　　sin（-α）= -sinα M.d5h-?  
XLs{F1jv  
　　cos（-α）= cosα :twN_k>  
Fy20mIg  
　　tan（-α）= -tanα FQ@9Ok(Z  
jU6 _\q I  
　　cot（-α）= -cotα ]<7&9h  
K^`JN8,"  
　　公式四： %OQB d%  
&MlT)kcL}  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 04A"7-] =w  
F1B9??d;  
　　sin（π-α）= sinα et,jBBO  
5"01b?X  
　　cos（π-α）= -cosα H7syNg  
hZ6oI]<#:  
　　tan（π-α）= -tanα /cp!m;!7e  
3)vUg=A  
　　cot（π-α）= -cotα 3osIK"  
"*7 ht r4R  
　　公式五： G@!s5M3!?  
+ x!kSA  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： '2} WJA  
j5i eX~pK  
　　sin（2π-α）= -sinα ' :Hx8tq{  
z Q:#Hsx  
　　cos（2π-α）= cosα qY-t7jTk  
s RUVHd  
　　tan（2π-α）= -tanα tv:$I.2!  
$j4+ ]"  
　　cot（2π-α）= -cotα M Hc?hQ  
(@IE^}%K  
　　公式六： &y1.Que  
-^ ~g  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： X_~Q^=M#7  
2mXPMrm  
　　sin（π/2+α）= cosα ^( \ZSR  
emqE,kD3o  
　　cos（π/2+α）= -sinα )*W6]9{uQ  
Bsk#@)i  
　　tan（π/2+α）= -cotα !$e\Gn=y  
Q>u*Kk  
　　cot（π/2+α）= -tanα ) a2+o  
x<tV: b  
　　sin（π/2-α）= cosα q&Rftps&4  
r&-G51w@  
　　cos（π/2-α）= sinα |s,ASa   
C=) !E\M(  
　　tan（π/2-α）= cotα 'D~.8$`  
"` zP.H  
　　cot（π/2-α）= tanα +qNlpo;k  
!H^V-?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα UVn`tM24g@  
q@ #  
　　cos（3π/2+α）= sinα Wwqi79F  
k- dmJK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα l{]?fA~  
!d4=\XIP[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα y 0nLIk  
ot':wn0V  
　　sin（3π/2-α）= -cosα g h,7@g  
$[{2RYW  
　　cos（3π/2-α）= -sinα >%PgU{qA  
1xS4*6 oA  
　　tan（3π/2-α）= cotα `Utr'Z$7G  
bdn?5!  
　　cot（3π/2-α）= tanα .]a+iDAF  
EP nA:oI  
　　(以上k∈Z) si:HBd{oY  
eG ;P[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 oQWh`C;k  
U76=#  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  EBJ  
CN=g&qM  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Os6Q- b  
9Er{<Bgf1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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