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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 n Vl$j 1>C  
xC94~+M\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %|l4=IG  
p&htv+f  
　　1、三角函数本质： NDl}|"I  
mt3-2S5  
　　三角函数的本质来源于定义 |=WDP\?g  
o95VFWC  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 C n]]x&  
E,}@'G+Vr%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 A5~@fvL8  
hs=X?8D  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： U+/Ub%p  
3:zJ\f=c  
　　推导： 46aE_m &  
 3MM# v  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 @PG,V?/  
=5?Yx-w?"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (W@\5R4g  
QkU6o aF"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) b"VBnoq9D  
;~.y-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 U*Ma^dw(  
M7W<GzPf.  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） R"RrmPSPr  
R\):U?Zd  
　　[1] xHT[7U|=  
('nHX8z  
　　两角和公式 &uAnZW^  
gHMoON  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB t-un 5  
oRb7`p.N@N  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  vg%V\<8  
w& (\CjC  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB jlHl:5XN  
:V)#JY3<C  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 'fL?v[FA1  
S:[[($\`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _b(*qeYZ  
) tAj<w  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) <H{9m]e]  
xAt}%mV/  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  %jU:mER|}  
dDpx n=P6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  JTEyze  
1^d!tFz  
倍角公式 rrwA]F?  
ZTEg!T. #  
　　Sin2A=2SinA•CosA h|6i>8~^v  
-tQr5|_>  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 VR] (  
<z!g+x{+g^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Dh=2xsUit  
TDCP~,`2B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） df4 ]b}H  
s7Ao+^  
三倍角公式 7}$}:w[x{  
I>bmv:A'E  
　　 F+So<}(7  
lhwr>uJl>-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) KN?kU9r6h6  
u^pEb:v&K  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x3QJUU,  
[(5=wz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) SFxd-W$>  
&7+" 'BB  
三倍角公式推导 P&^VGOK~  
JBDfU<zYb  
　　sin3a P W>}sKL  
L@_|JzMN  
　　=sin(2a+a) u&Af%p=(4  
.A#*n9M-  
　　=sin2acosa+cos2asina zXMVR9#bH  
KEy$PXMd$P  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina k#QAS"SL  
JL$sX\  
　　=3sina-4sin³a )A6xw f  
?v/m>vcx  
　　cos3a q1rbu#w5  
cAZ/)+Z  
　　=cos(2a+a) JBRXa0_  
_WO9(!<vx  
　　=cos2acosa-sin2asina *7E= ~`  
@7x> qA  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gsuQGvv  
>#%E7H  
　　=4cos³a-3cosa /4X+E  
NF%CdXW  
　　sin3a=3sina-4sin³a R\JDl  
@EM(%9Wyh  
　　=4sina(3/4-sin²a) *ASZ"_JNR  
CP k"K8G6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] :VX k G%  
HdEAO&~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 297 &xH M5  
(auC'\Q=J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) q5eU2)zx;_  
K89)*1)T  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2b f{zFV  
_i)=.7s]^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) H5r80.F";  
c$%ZrR}V"4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa iy6lNd=A  
Cu Mg7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) R*`C!`1?  
f1(st E|`  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *"h s9J  
w^^'m k1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) T ),G[#  
lKChI2!?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) O_@HMp  
Z.q}gT  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} B}y'rs$M 5  
BTTa`&q'Vi  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^rbwa/2  
XmVTUm   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x QBw1q7z  
R&Z. !;E  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2<zVje?j  
Gb5R+8ha  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ex}s|bY~~  
r|Z4(~  
　　上述两式相比可得 y,&,\d  
Dl)_`b "  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  gd#I  
,^Wp}RuC G  
半角公式 }usU\,K*  
pC&'oo+R  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BS>)Jw  
fb>CYR  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Yqn&Ue  
]!P N vj  
和差化积 bWGb=;08  
XL"{J^w"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,Z "m  
SP?qsk4  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `nJW) #  
@62!iG  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aYB[I\}  
Gsk<0zP*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zY)&9$p@7  
D$H96pyl  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2~Q"8P  
dWKm JF`  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) vB; w   
Q5Alzq(  
积化和差 0(-s/R  
nz7?pYIig  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8z6bW"`|Z  
ZS}u.}W"  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \Q&sE   
`SLGhd  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0}$4"^x\=R  
5"e/-nD[R  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x#`3]MyLx  
Mx3fK.Z$  
诱导公式 zPG=cCT;*  
[X%:@w  
　　sin(-α) = -sinα bHJJ*E=ro  
@"Hhi}  
　　cos(-α) = cosα R7B) OtE  
gi/BE|RB\y  
　　sin(π/2-α) = cosα :h-<KRjm  
+Qf ># Mr  
　　cos(π/2-α) = sinα xz% k''t  
bSgqe?'  
　　sin(π/2+α) = cosα fKLLGw  
oxf7;3j5Ar  
　　cos(π/2+α) = -sinα oY8_H]0W  
YS=;  
　　sin(π-α) = sinα >WiIO2^2 <  
h'M 3|L 8M  
　　cos(π-α) = -cosα v,#b&%EK  
}A8e~E  
　　sin(π+α) = -sinα w(Areh20  
*"`xTg{-  
　　cos(π+α) = -cosα %^9! -&  
PK!BL{!  
　　tanA= sinA/cosA JgyZMR4  
Q^qV|  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα MQWj3e   
jxh+WA[f  
　　tan（π/2－α）＝cotα WM!aZ J5  
b vD5;  
　　tan（π－α）＝－tanα 7q"-^  
Yq<O ;i.X  
　　tan（π＋α）＝tanα <S@@<*0H)  
z_&FL} 7o  
万能公式 ?gQb [i&Px  
$ eh3|(:  
　　 pOVC7! M  
Dn\ 8ad&w  
其它公式 ylr1ey>B  
@|'idd  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 q ++bq J  
nb!/"u-}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %^O]T0X  
\v' r,_D.  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @-Da=  
#r|.7<hIm5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 JVdzM  -  
N\a1 k5U[  
　　对于任意非直角三角形,总有 I(r,Ed=  
HhAP5W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z;N&MG.&^  
]#4=V'  
　　证: 5+VP"'mG  
4/5q4okun  
　　A+B=π-C ^N32t<P!s  
>~-B5W+  
　　tan(A+B)=tan(π-C) o |_)0RR  
KAJZz;3Ar  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |2Sd\Q&;k  
UT &e)g_u  
　　整理可得 4 V. !pW-o  
e9J81)}`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8J|vE@QOM  
x^} _fTn"  
　　得证 R*0'Q3kDv  
~yCnxAY  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h#93`;)Y  
e|S, ,s  
其他非重点三角函数 !8V:6M4  
A5`+ u g  
　　csc(a) = 1/sin(a) 5FNv|]4  
d;V\ O2fVJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) G5'JH5S(x  
(!GM#0L  
　　 6yv;  
bI+-}F  
双曲函数 (X||y3\'  
!k#z V m8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x8e90/h3#@  
$}aW|8^G  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C }lnk~o  
z_z>Xg3(w  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) AcbEFXD?  
9\#v1n  
　　公式一： d5WwWl#qU  
mEM4St)Ydf  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： OW\TU  
@ScS]r}Ao  
　　sin（2kπ＋α）= sinα @(Ec9I<(  
yiUd%A8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα EuPim:V*`  
6Xzgg\Eyy  
　　tan（kπ＋α）= tanα i[1a -\+  
P:~>M/dpt  
　　cot（kπ＋α）= cotα 'xgNm:f\;  
Mi06h5<jE7  
　　公式二： DlJ#i.A<  
LqD!9~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [=EZLO7{m  
?Q\Uc?J  
　　sin（π＋α）= -sinα %$90e4V'  
Z>P)y#q  
　　cos（π＋α）= -cosα Z\i:9?y&B  
vFr6Xka1  
　　tan（π＋α）= tanα X>^@w  
o%/.7G9  
　　cot（π＋α）= cotα GGW*U[  
>c-c1D  
　　公式三： /f*kcgW  
q cxNkz%Y  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： &_\F2srQ  
<\KbIK%  
　　sin（-α）= -sinα NG8 -G3O  
0X\z[2=  
　　cos（-α）= cosα [n0hT<.  
n. cJ mAw  
　　tan（-α）= -tanα XPqJ:/d  
iDe;&T~%  
　　cot（-α）= -cotα CjZ+'(  
0rk]7l5K  
　　公式四： y[~%VB  
eK.I ?-G  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9qg.]#@  
IQubv^G \  
　　sin（π-α）= sinα !"R7c9 /  
9kL/~dK0  
　　cos（π-α）= -cosα g{d 4jq  
GL8^d&2+j  
　　tan（π-α）= -tanα z>)-{0/%D}  
!~5| J5\  
　　cot（π-α）= -cotα >e:52lN\S  
@`R(;Rroh  
　　公式五： WDN $t80  
n^BL<Sp~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： mvR"(vi[  
\EP|Tf9-  
　　sin（2π-α）= -sinα l1X%%r@e  
8fPEP62[ T  
　　cos（2π-α）= cosα ^R&Mz0#  
{lDSM~ 1  
　　tan（2π-α）= -tanα C`\)KhC6Z  
^T%0S[h  
　　cot（2π-α）= -cotα wsB  
j ejGR.\  
　　公式六： 1v,! &m N  
RjH@9L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： \:3H,t.V  
dkia5/|  
　　sin（π/2+α）= cosα ,d) VpA_  
A#w ]U8s  
　　cos（π/2+α）= -sinα xw99]S  
q2R\r~_0  
　　tan（π/2+α）= -cotα 0x c\`nY"v  
}n{%{R-  
　　cot（π/2+α）= -tanα IK_)2dw  
5=(%pkg  
　　sin（π/2-α）= cosα  0yl5;v  
f6^s2&H  
　　cos（π/2-α）= sinα _Zp@ n  
En-vLlS S  
　　tan（π/2-α）= cotα ;Gdj+   
!~`b1g*J  
　　cot（π/2-α）= tanα !i;f|1xl"  
nkC"Q,2  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @Z_aI0<  
AcS.qR#]  
　　cos（3π/2+α）= sinα GOdaM]*  
]u-d31d  
　　tan（3π/2+α）= -cotα KOK-kLG  
s4 C]<s  
　　cot（3π/2+α）= -tanα u@?+RJo  
dW?eBv#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Z: Sfo.aB  
?R^,-^0a"v  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :CzS[-=  
R@kz0]3  
　　tan（3π/2-α）= cotα I*^s.n }  
k:T,yzgo+  
　　cot（3π/2-α）= tanα K [sefQ+  
a i_dlb"  
　　(以上k∈Z) D 8 < LCw  
|0&3  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 r T%!i  
mq?U}t>Af  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = er-qf% i  
n*z{#n#Z"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } aTp!W5u]!K  
AH>(-R(&zm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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